высшая математика

Какое из следующих выражений представляет собой производную функции ( f(x) = 3x^2 — 2x + 1 )?

1. ( f'(x) = 6x — 2 )
2. ( f'(x) = 3x^2 — 2x )
3. ( f'(x) = 6x — 2x + 1 )
4. ( f'(x) = 3x^2 — 2 )

Правильный ответ: ( f'(x) = 6x — 2 )

Какой из нижеприведенных вариантов является определением интеграла функции ( f(x) ) от ( a ) до ( b )?

1. ( int_a^b f(x) , dx = F(x) + C )
2. ( int_a^b f(x) , dx = F(b) — F(a) )
3. ( int_a^b f(x) , dx = lim_{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i) Delta x )
4. ( int_a^b f(x) , dx = lim_{Delta x to 0} sum_{i=1}^n f(x_i) Delta x )

Правильный ответ: ( int_a^b f(x) , dx = F(b) — F(a) )

Какая из нижеперечисленных формул является тождеством Эйлера для функции ( f(x) )?

1. ( e^{ix} = cos(x) + isin(x) )
2. ( e^{ix} = sin(x) + icos(x) )
3. ( e^{ix} = sin(x) — icos(x) )
4. ( e^{ix} = cos(x) — isin(x) )

Правильный ответ: ( e^{ix} = cos(x) + isin(x) )

Какова производная функции ( f(x) = ln(x) )?

1. ( f'(x) = frac{1}{x^2} )
2. ( f'(x) = frac{1}{x} )
3. ( f'(x) = frac{1}{xln(10)} )
4. ( f'(x) = frac{ln(x)}{x} )

Правильный ответ: ( f'(x) = frac{1}{x} )

Какой из следующих интегралов является неопределенным?

1. ( int frac{1}{x} , dx )
2. ( int_0^1 x^2 , dx )
3. ( int sin(x) , dx )
4. ( int_1^2 frac{1}{x^2} , dx )

Правильный ответ: ( int frac{1}{x} , dx )

Какой метод используется для решения системы линейных уравнений с помощью матриц?

1. Метод Эйлера
2. Метод Гаусса
3. Метод Ньютона
4. Метод Фурье

Правильный ответ: Метод Гаусса

Какой из следующих интегралов представляет собой площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = x^2 ) и осью абсцисс в интервале от 0 до 2?

1. ( int_0^2 x^2 , dx )
2. ( int_0^2 sqrt{x} , dx )
3. ( int_0^2 (x^2 — x) , dx )
4. ( int_0^2 (x — x^2) , dx )

Правильный ответ: ( int_0^2 x^2 , dx )

Какое из следующих утверждений является формулой для суммы геометрической прогрессии?

1. ( S = frac{a}{1 — r} )
2. ( S = frac{a(1 — r^n)}{1 — r} )
3. ( S = frac{a(1 + r)^n}{1 — r} )
4. ( S = a + nr )

Правильный ответ: ( S = frac{a(1 — r^n)}{1 — r} )

Какое из следующих утверждений о теореме Ферма правильно?

1. Если функция ( f(x) ) достигает локального экстремума в точ
   

   Какое из следующих утверждений верно для функции ( f(x) = frac{1}{x} )?

   1. ( f(x) ) не определена при ( x = 0 )
   2. ( f(x) ) не определена при ( x = 1 )
   3. ( f(x) ) не определена при ( x = -1 )
   4. ( f(x) ) не определена при ( x = 0 )

   Какое из нижеперечисленных утверждений является верным для скалярного произведения векторов?

   1. Скалярное произведение коммутативно
   2. Скалярное произведение ассоциативно
   3. Скалярное произведение распределительно относительно сложения векторов
   4. Скалярное произведение коммутативно

   Какая из следующих формул является правильной формулой для вычисления производной синуса функции ( y = sin(x) )?

   1. ( frac{d}{dx}(sin(x)) = cos(x) )
   2. ( frac{d}{dx}(sin(x)) = -sin(x) )
   3. ( frac{d}{dx}(sin(x)) = sin(x) )
   4. ( frac{d}{dx}(sin(x)) = cos(x) )

   Какое из следующих уравнений является кубическим?

   1. ( y = x^3 + 2x^2 — 5x + 1 )
   2. ( y = x^2 — 4x + 7 )
   3. ( y = 3x^2 + 2x — 9 )
   4. ( y = x^3 + 2x^2 — 5x + 1 )

   Какое утверждение верно для логарифмической функции ( f(x) = log(x) )?

   1. Не определена при ( x = 0 )
   2. Не определена при ( x = 1 )
   3. Не определена при ( x = -1 )
   4. Не определена при ( x = 0 )

   Какая из нижеперечисленных функций является четной?

   1. ( f(x) = x^2 + 3x — 2 )
   2. ( f(x) = sin(x) )
   3. ( f(x) = e^x )
   4. ( f(x) = cos(x) )

   Какое утверждение верно для определителя матрицы?

   1. Определитель матрицы всегда равен нулю
   2. Определитель матрицы считается по главной диагонали
   3. Определитель матрицы можно вычислить только для квадратных матриц
   4. Определитель матрицы можно вычислить только для квадратных матриц

   Какое из следующих утверждений верно для корня квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 )?

   1. Уравнение имеет ровно один корень
   2. Уравнение всегда имеет два различных корня
   3. Уравнение может не иметь действительных корней
   4. Уравнение может не иметь действительных корней

   Какое из утверждений верно для теоремы о среднем значении (теоремы Ролля)?

   1. Если функция непрерывна на отрезке ([a, b]), то существует такая точка ( c ), что ( f'(c) = frac{f(b) — f(a)}{b — a} )
   2. Если функция дифференцируема на отрезке ([a, b]) и принимает на концах отрезка одинаковые значения, то существует такая точка ( c ), что ( f'(c) = 0 )
   3. Если функция дифференцируема на отрезке ([a, b]) и имеет на концах отрезка разные значения, то существует такая точка ( c ), что ( f'(c) = frac{f(b) — f(a)}{b — a} )
   4. Если функция дифференцируема на отрезке ([a, b]) и принимает на концах отрезка одинаковые значения, то существует такая точка ( c ), что ( f'(c) = 0 )

   Какое утверждение верно для дифференцирования суммы

   Какое из следующих выражений является производной функции ( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 )?

   1. ( 6x + 2 )
   2. ( 3x^2 + 2 )
   3. ( 6x )
   4. ( 6x + 2 )

   Какое из утверждений верно для определенного интеграла функции ( g(x) = 4x^3 — 2x^2 + 5x ) на интервале [1, 2]?

   1. ( int_{1}^{2} g(x) ,dx = 0 )
   2. ( int_{1}^{2} g(x) ,dx > 0 )
   3. ( int_{1}^{2} g(x) ,dx < 0 )
   4. ( int_{1}^{2} g(x) ,dx > 0 )

   Какой из следующих рядов является сходящимся?

   1. ( sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} )
   2. ( sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} )
   3. ( sum_{n=1}^{infty} (-1)^n )
   4. ( sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} )

   Какой метод нахождения корней уравнения применяется для линейных систем?

   1. Метод Ньютона
   2. Метод бисекции
   3. Метод Гаусса
   4. Метод Эйлера

   Каково значение производной функции ( h(x) = e^x ) по переменной ( x )?

   1. ( e^x )
   2. ( e^x )
   3. ( ln(x) )
   4. ( 1/x )

   Какой из следующих интегралов является неопределенным интегралом?

   1. ( int_{0}^{1} x^2 ,dx )
   2. ( int x^3 ,dx )
   3. ( int_{ -1}^{1} sin(x) ,dx )
   4. ( int x^3 ,dx )

   Какое из утверждений верно для матрицы, обратной к квадратной невырожденной матрице?

   1. Определитель равен 1
   2. Определитель равен 0
   3. Определитель не равен 0
   4. Матрица симметрична

   Какой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений использует экспоненциальные функции?

   1. Метод Эйлера
   2. Метод Рунге-Кутта
   3. Метод вариации постоянных
   4. Метод Гаусса

   Каково значение косинуса угла 60 градусов?

   1. 0
   2. ( frac{sqrt{2}}{2} )
   3. ( frac{1}{2} )
   4. ( frac{sqrt{3}}{2} )

   Какая из следующих функций является нечётной?

   1. ( y = x^2 )
   2. ( y = sin(x) )
   3. ( y = e^x )
   4. ( y = cos(x) )

   Что такое производная функции?

   1. Среднее значение функции на отрезке
   2. Площадь, ограниченная графиком функции и осью абсцисс
   3. Скорость изменения функции
   4. Интеграл функции

   Какой из методов является численным методом решения дифференциальных уравнений?

   1. Метод интегрирования по частям
   2. Метод Эйлера
   3. Метод Лагранжа
   4. Метод замены переменной

   Что такое интеграл функции?

   1. Сумма значений функции на интервале
   2. Площадь под графиком функции
   3. Производная функции
   4. Граница функции

   Какое утверждение верно для экстремумов функции?

   1. Экстремумы всегда находятся в середине интервала
   2. Экстремумы функции не существуют
   3. Экстремумы находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует
   4. Экстремумы находятся только на концах интервала

   Чему равно значение интеграла от функции ( e^x ) по переменной ( x )?

   1. 0
   2. 1
   3. Неопределено
   4. Бесконечность

   Какова производная от функции ( x^3 )?

   1. ( 2x^2 )
   2. ( 3x^2 )
   3. ( 3x^2 )
   4. ( 4x^3 )

   Что такое интеграл от производной функции?

   1. Производная от интеграла функции
   2. Значение функции на интервале
   3. Площадь под графиком производной функции
   4. Исходная функция

   Какова производная от функции ( ln(x) )?

   1. ( frac{1}{x} )
   2. ( x )
   3. ( frac{1}{x} )
   4. ( ln(x) )

   Какова производная от функции ( sin(x) )?

   1. ( cos(x) )
   2. ( tan(x) )
   3. ( cos(x) )
   4. ( cot(x) )

   Какой из методов используется для решения систем линейных уравнений?

   1. Метод замены переменных
   2. Метод выделения полного квадрата
   3. Метод Гаусса
   4. Метод Эйлера